微分公式

微分公式详解

函数y=f(x)的微分为 dy = f'(x) dx，其中dx=Δx是自变量的微分。

几何意义：dy是曲线在点(x,f(x))处切线上纵坐标的增量，Δy是曲线上纵坐标的增量，Δy≈dy（dx很小时）。

基本微分公式：d(xⁿ)=nxⁿ⁻¹dx，d(sinx)=cosx dx，d(eˣ)=eˣ dx，d(lnx)=dx/x

运算法则：d(u±v)=du±dv，d(uv)=vdu+udv，d(u/v)=(vdu-udv)/v²

一阶微分形式不变性：无论x是自变量还是中间变量，dy=f'(x)dx形式不变。

常见问题

Q：微分和导数什么关系？

A：导数f'(x)=dy/dx是微商（微分之商），微分dy=f'(x)dx。可导等价于可微。

Q：微分和增量Δy什么区别？

A：Δy是函数真实增量，dy是线性主部。Δy=dy+o(Δx)，Δx→0时两者近似相等。

Q：微分有什么用？

A：用于近似计算（Δy≈dy）、误差估计、微分方程建模等。